Exercícios resolvidos e comentados

Estes exercícios têm o objetivo de complementar os estudos, mostrando aplicações do conteúdo teórico. Faço comentários junto com a resolução, procurando deixar claro o raciocínio utilizado. Muitas vezes os professores não têm tempo para mostrar as resoluções em detalhes e a compreensão fica prejudicada.

Exercícios básicos de Matemática Financeira ocultar

veja o texto que trata de taxas de juros, seus conceitos e variações

juros simples ocultar

Problema retirado da apostila de Matemática Financeira da Graduação Tecnológica em Processos Gerenciais (FGV online)
autor: Rodrigo Leone
pág 49 - Empréstimo: Estudo de caso

Juliano tomou um empréstimo de R$ 30.000,00 no regime de juros simples, para pagamento em uma única parcela de R$ 32.070,00 ao final de 3 meses. Juliano gostaria de saber qual seria o valor a quitar, se desejasse pagar essa dívida 2 meses após a data do empréstimo, em uma única parcela, com a mesma taxa de juros.

RESOLUÇÃO

O enunciado dá primeiramente os dados da operação com prazo de 3 meses:

  • P = 30.000,00
  • n = 3 meses
  • M = 32.070,00

Encontramos primeiramente o valor dos juros (montante = principal + juros) e depois, utilizando a fórmula de juros simples, encontramos a taxa da operação:

cálculo da taxa de juros da operação

Na seção "Alguns esclarecimentos básicos sobre taxas de juros" do texto que trata de taxas de juros, pode-se encontrar explicações sobre as formas decimal e percentual das taxas de juros, bem como sua conciliação com o prazo. Vemos acima que a taxa encontrada pela fórmula vem na forma decimal (0,023) e foi multiplicada por 100 para expressá-la na forma percentual (2,3%). Além disso, a taxa é mensal ("ao mês") porque o prazo utilizado foi mensal (n = 3 meses)

O exercício pede o montante que deveria ser pago caso o prazo fosse de 2 meses. Utilizamos a taxa encontrada e n = 2 meses na fórmula de juros simples:

cálculo dos juros e do montante para prazo de 2 meses

Vemos acima que primeiramente foi calculado o valor dos juros (J) sobre o prazo sugerido de 2 meses, para então somá-lo ao principal e chegar ao montante (M), valor total que deveria ser pago para quitar a dívida em 2 meses.

juros compostos ocultar

Exercício retirado de lista de exercícios disponível na internet (desconheço a origem)

Calcular o montante de uma aplicação de R$ 3.500,00, pelas seguintes taxas efetivas e prazos:

a) 4% am e 6 meses
b) 8% at e 18 meses
c) 12% aa e 18 meses

RESOLUÇÃO

a) Como a taxa e o prazo são dados em termos mensais, basta aplicar a fórmula diretamente:

  • P = 3.500,00
  • i = 0,04 ao mês
  • n = 6 meses

b) A taxa é dada ao trimestre e o prazo em meses. Podemos calcular a taxa mensal equivalente ou transformar o prazo de meses para trimestres. A transformação do prazo é mais fácil:

  • P = 3.500,00
  • i = 0,08 ao trimestre
  • n = 18 meses = 6 trimestres

A transformação do prazo é feita usando regra de três simples:

Com o prazo e a taxa em trimestres, basta aplicar a fórmula:


c) A taxa é dada ao ano e o prazo em meses. Podemos calcular a taxa mensal equivalente ou transformar o prazo de meses para ano.

  • P = 3.500,00
  • i = 0,12 ao ano
  • n = 18 meses = 1,5 ano

A transformação do prazo é feita usando regra de três simples:

Com o prazo e a taxa anuais, basta aplicar a fórmula:

Estrutura de Capital: valor de mercado x valor contábil ocultar

Problema retirado do livro "Administração Financeira: teoria e prática"
autores: Brigham e Ehrhardt
Editora Thomson, Tradução da 10ª edição norte-americana
pág 455 - problema 11-13

Suponha que a Schoof Company tenha este balanço patrimonial ao valor de livro:

  • Ativo Circulante         30.000.000
  • Ativo Permanente      50.000.000
  • Total do Ativo        80.000.000
  • Passivo Circulante           10.000.000
  • Exigível Longo Prazo        30.000.000
  •     PL
  • Ações ordinárias
    (1 milhão de unid)            1.000.000
  • Lucros retidos                  39.000.000
  • Total do Passivo e PL   80.000.000

Os passivos circulantes consistem inteiramente em empréstimos dos bancos, e a taxa de juros sobre essa dívida é de 10%, a mesma taxa sobre os novos empréstimos bancários. O exigível de longo prazo é composto por 30.000 títulos de dívida de longo prazo, cada um com valor de face de $ 1.000, com taxa de juros cupom anual de 6% e vencimento em 20 anos. A taxa de juros sobre o novo exigível de longo prazo, Kd, é de 10%, e esse é o real rendimento desses títulos na data de vencimento. As ações ordinárias são vendidas ao preço de $60 cada. Calcule o valor de mercado da estrutura de capital da empresa.

COMENTÁRIOS

Para resolução deste problema, é necessário o entendimento claro da diferença entre valor de mercado e valor de livro (ou valor contábil) da estrutura de capital. Primeiramente, estrutura de capital se refere à composição dos passivos e patrimônio líquido, de modo que iremos nos concentrar no lado direito do balanço patrimonial (dívidas e capital próprio).

O valor contábil é o valor de lançamento (ou histórico) ou o valor de face de determinado título. No caso de dívidas, é o seu valor de face. O valor de face de um título de dívida é o valor de resgate que a empresa deverá pagar ao seu detentor no vencimento do mesmo. No caso de ações, é o seu valor de negociação no lançamento.

O valor de mercado é determinado pelos potenciais compradores de dívidas ou ações no mercado secundário (revenda de títulos). No caso das dívidas, o principal fator determinante do valor de mercado é a diferença entre a taxa de juros do título e a taxa corrente do mercado. Se a taxa corrente for maior que a taxa do título de dívida, este se desvalorizará. Se a taxa corrente for menor, o título se valoriza.

No caso das ações, o principal fator que determina seu valor de mercado é a expectativa com relação aos resultados futuros da empresa. Empresas com expectativa de bons resultados têm suas ações com valor de mercado valorizado, enquanto empresas com expectativa de maus resultados têm suas ações desvalorizadas.

RESOLUÇÃO

A estrutura de capital da empresa é dividida em 3 partes e devemos analisar cada uma separadamente:

  • Dívidas de curto prazo (passivo circulante)
  • Dívidas de longo prazo (exigível a longo prazo)
  • Ações ordinárias (os lucros retidos são incorporados ao valor de mercado das ações)

1) Dívidas de curto prazo

O enunciado afirma que a taxa de juros desses títulos é de 10% ao ano, e a taxa para novos títulos com essas características também é de 10% ao ano. Não havendo variação entre a taxa dos títulos e a taxa corrente, o valor de mercado é o mesmo que o valor contábil, ou seja, $ 10.000.000.


2) Dívidas de longo prazo

O enunciado afirma que a taxa de juros desses títulos é de 6% ao ano, e a taxa para novos títulos é de 10% ao ano. Sendo assim, esses títulos sofrem desvalorização, já que o mercado tem a opção de comprar títulos que rendem 10% ao ano, contra apenas 6% ao ano dos títulos em questão.

Para calcularmos o valor que o mercado estaria disposto a oferecer pela compra desses títulos, precisamos analisar o fluxo de caixa dos mesmos. A figura abaixo mostra o diagrama de fluxo de caixa.

Fluxo de caixa dos títulos de longo prazo

Vemos que os valores anuais dos cupons são 6% x 30.000.000 = $ 1.800.000. Ao final do ano 20, o portador recebe o cupom anual mais o valor de face dos títulos, ou seja, 1.8000.000 + 30.000.000 = 31.800.000. O valor que o mercado está disposto a pagar é o valor presente (VP) desse fluxo de caixa, porém descontado à taxa corrente do mercado, que é de 10% ao ano, de acordo com o enunciado.

Vamos calcular o VP usando a HP 12C:

Cálculo do valor de mercado da dívida de longo prazo pela HP 12C

Portanto, o valor de mercado das dívidas de longo prazo é $ 19.783.723,54.


3) Ações ordinárias

O enunciado facilita esse cálculo ao fornecer o preço da ação $ 60. Esse é o valor de mercado de uma ação. Para sabermos o valor de mercado do conjunto de ações, basta multiplicar o preço pela quantidade de ações: 60 x 1.000.000 = $ 60.000.000.




O quadro abaixo resume os resultados obtidos:

quadro-resumo com os resultados obtidos

Concluindo, vemos que o valor de mercado das dívidas de curto prazo é igual ao valor contábil, pois não houve alteração na taxa de juros. O valor de mercado das dívidas de longo prazo sofreu desvalorização com relação ao seu valor contábil, pois a taxa de juros praticada pelo mercado foi elevada. As ações ordinárias têm valor de mercado superior ao valor contábil, refletindo os ganhos acumulados e as boas expectativas com relação aos resultados futuros da empresa.

Margem de Contribuição e Fatores Limitativos ocultar

Problema retirado do livro "Curso Básico Gerencial de Custos"
autor: Clóvis Luís Padoveze
Editora Thomson, 2ª edição revista e ampliada
pág 304 - problema 10

Uma empresa tem 2 produtos, que apresentam os seguintes dados:

Dados básicos do problema

a) Pela análise percentual da margem de contribuição, qual o produto que deveria ter sua produção e suas vendas mais enfatizadas?

b) Ainda com os dados apresentados, sabendo que o mercado tem condição de absorver apenas 500 unidades do produto B, a capacidade de produção do produto A fica restrita a 1.500 unidades. Calcule a margem de contribuição total da empresa nessa combinação de faturamento.

c) Outra informação é incorporada ao nosso problema. A gerente divisional afirma que só tem à sua disposição 1.000 horas de fábrica para gerar os produtos A e B. Sabendo que uma hora produz 3 unidades do produto A e apenas 1 unidade do produto B, mas que o mercado pode absorver apenas 2.400 unidades do produto A, calcule a margem de contribuição total da empresa nessa nova combinação de produção.

COMENTÁRIOS

Neste site há 2 textos com explicações sobre o conceito de margem de contribuição: DRE, Receita, Custos Fixos e Custos Variáveis e Análise Custo/Volume/Lucro e Ponto de Equilíbrio.

É comum haver confusão com a margem de contribuição porque ela pode ser expressa em termos percentuais ou em valor monetário, pode ser unitária ou total e pode ser calculada para um único produto ou para um conjunto de produtos. Essas distinções devem ser bem compreendidas para evitar confusão.

A margem de contribuição é um critério importante nas decisões que envolvem estratégias de portfolio de produtos, porém, na prática, essas decisões não são puramente financeiras. Muitas vezes se dá ênfase a um produto que não é o mais lucrativo para conquistar participação de mercado, ou entrar em novos mercados, entre outros possíveis objetivos.

A melhor maneira de resolver esse tipo de exercício é construindo uma tabela DRE para custeio variável, começando pelas informações unitárias de cada produto, seguidas dos valores totais, de acordo com as quantidades vendidas ou previstas para cada produto. Isso é mostrado na resolução do item b).

RESOLUÇÃO

a) A margem de contribuição unitária é definida como a diferença entre o preço de venda do produto e seus custos e despesas variáveis. A margem de contribuição percentual é obtida dividindo-se a margem unitária pelo preço de venda e depois multiplicando esse resultado por 100. Abaixo vemos os cálculos para os dois produtos:

Cálculo das margens de contribuição percentuais

Se o critério de decisão é a margem de contribuição percentual, o produto B deve ser priorizado, visto que tem maior margem percentual.

b) O item a) mostrou que o produto B é financeiramente melhor, mas temos uma limitação de mercado para esse produto (absorve apenas 500 unid). Então o restante da capacidade de produção é utilizada no produto A, produzindo assim 1.500 unidades. Abaixo vemos a tabela que mostra as informações unitárias e totais por produto, de acordo com as quantidades produzidas, bem como os cálculos das diferentes variações de margem de contribuição.

Tabela com cálculo da margem de contribuição total

Vemos na parte superior da tabela as informações unitárias de cada produto. Na terceira linha temos a margem de contribuição unitária de cada produto em valor monetário. Na parte inferior da tabela vemos as informações totais , considerando as quantidades negociadaws de cada produto. Na penúltima linha temos a margem de contribuição total de cada produto e global, considerando o conjunto. Na última linha temos a margem de contribuição percentual de cada produto e do conjunto dos produtos.

O item b) pede a margem de contribuição total da empresa para o mix de venda sugerido, o que vemos em destaque na tabela ($ 15.000,00).


c) Aqui temos um fator limitativo: 1.000 horas para fabricação dos produtos. É preciso determinar qual produto é mais vantajoso financeiramente, considerando essa restrição. Essa decisão é tomada com base na relação entre a margem de contribuição unitária de cada produto e o consumo do fator limitativo de cada produto, fazendo-se a divisão de um pelo outro, como mostrado abaixo:

Cálculo da relação entre MgC unitária e fator limitativo de cada produto

O enunciado afirma que uma hora de produção pode produzir 3 unidades do produto A ou 1 unidade do produto B. Portanto, cada unidade do produto A consome 0,3333 hora e cada unidade do produto B consome 1 hora. Ao fazer a divisão entre a MgC de cada produto e o consumo do fator limitativo, vemos que o produto A passa a ser mais vantajoso que o B, devendo-se portanto dar prioridade a ele.

Mas há um outro fator limitativo: o mercado absorve apenas 2.400 unidades do produto A. Se uma hora de produção fabrica 3 unidades de A, então o número de horas de produção para fabricar 2.400 unidades do A é 2.400/3 = 800 horas.

Se vamos utilizar 800 horas para fabricar o que o mercado consome do produto A, sobram 200 horas para fabricar o produto B. Se uma hora de produção fabrica 1 unidade de B, então com 200 horas podemos fabricar 200 unidades do produto B. Vemos abaixo a tabela com os cálculos para o mix de venda dessa situação (2.400 unid de A e 200 unid de B):

Tabela com cálculo da margem de contribuição total

Concluindo, vemos que a MgC total do mix na situação do item c) é de $ 16.800,00. Nas situações práticas, sempre existem fatores limitativos, e vimos como essas restrições podem alterar a importância financeira de cada produto. Sem restrições, o produto B é mais vantajoso, mas com a restrição das horas de produção, vimos que o produto A passou a ser mais vantajoso. Outro ponto interessante é que comparando as tabelas dos itens b) e c) vemos que a MgC % total é maior para o mix do item b), mas do ponto de vista financeiro é mais interessante uma margem de contribuição monetária maior, como a do item c), pois significa maior lucro.

Cálculo do CMPC (custo médio ponderado de capital) ocultar

Problema retirado do livro "Administração Financeira: teoria e prática"
autores: Brigham e Ehrhardt
Editora Thomson, tradução da 10ª edição norte-americana
pág 454 - problema 11-11

Em 1º de janeiro, o valor total de mercado da Tysseland Company era de $ 60 milhões. No decorrer do ano, a empresa planeja levantar e investir $ 30 milhões em novos projetos. A estrutura de capital da empresa, mostrada a seguir, é considerada ótima. Assuma que não há dívida de curto prazo.

Estrutura de capital a valor de mercado

Novos títulos de dívida terão uma taxa juros de cupom de 8% e serão vendidos ao valor de face. A ação ordinária está sendo vendida ao valor corrente de $ 30 cada. A taxa de retorno requerida pelos acionistas é estimada em 12%, consistindo em um rendimento de dividendo de 4% e de uma taxa de crescimento constante esperado de 8% (o próximo dividendo esperado é $ 1,20, então $ 1,20 / $ 30 = 4%). A alíquota do imposto marginal da empresa é de 40%.

a) Para manter a atual estrutura de capital, quanto em novos investimentos deve ser financiado pelo patrimônio líquido dos acionistas ordinários?

b) Suponha que haja fluxo de caixa suficiente, de forma que a Tysseland possa manter sua estrutura de capital-alvo sem emitir ações adicionais. Qual é o CMPC?

c) Suponha agora que não haja fluxo de caixa interno suficiente e que a empresa deve emitir novas ações. Falando qualitativamente, o que acontecerá com o CMPC?

COMENTÁRIOS

Vamos analisar algumas afirmações contidas no enunciado.

Primeiramente, o texto dá o valor de mercado da empresa. A estrutura de capital da empresa também pode ser avaliada pelo seu valor contábil. Veja o exercício que discute a diferença entre valor contábil e valor de mercado.

Depois o enunciado fala em estrutura ótima de capital. Uma estrutura de capital é ótima quando minimiza o CMPC e maximiza o preço da ação, lembrando que estrutura de capital é a proporção de dívida e capital próprio sobre o total de investimentos de uma empresa.

O enunciado afirma também que a taxa de retorno requerida pelos acionistas é estimada em 12%. Aqui é preciso atenção, pois deve-se ter clara a diferença entre retorno requerido e retorno efetivo de uma ação. Quando alguém investe em uma ação, é impossível saber qual o retorno que se conseguirá com esse investimento (retorno efetivo), porque isso depende dos dividendos pagos pela empresa e das variações do preço dessa ação ao longo do temnpo, variáveis cuja previsão é sempre incerta. O retorno requerido é a expectativa que o investidor tem sobre o retorno que terá, em função principalmente do risco dessa ação. O retorno efetivo pode ser maior ou menor que o requerido, refletindo o próprio risco desse tipo de investimento. Nos investimentos pré-fixados ocorre o contrário, pois sabe-se desde o princípio qual será o retorno desse tipo de investimento, já que a taxa é conhecida, ou seja, o risco é muito baixo.

No artigo Estrutura de Capital, Custo Médio Ponderado de Capital (CMPC) e Valor Econômico Agregado (EVA) é explicado o conceito de CMPC e sua fórmula básica de cálculo.

RESOLUÇÃO

a) Vemos que a atual estrutura de capital da empresa tem 50% de dívida e 50% de capital próprio (PL dos acionistas). Pretende-se investir mais $ 30 milhões, o que significa que o Capital Total passará de $ 60.000.000,00 para $ 90.000.000,00. Portanto, para que a estrutura de capital inicial seja mantida, metade desse novo investimento deve ser financiado com dívida e metade com capital próprio, o que resultaria na situação representada pela tabela abaixo:

Estrutura de capital com o novo investimento

Respondendo à questão: dos $ 30 milhões referentes ao novo investimento, $ 15 milhões devem ser financiados com capital próprio para que a atual estrutura de capital seja mantida.

b) Para calcularmos o CMPC precisamos primeiramente calcular o custo de cada componente da estrutura de capital (dívida e capital próprio).

O custo da dívida (Kd) representa a taxa de juros do cupom, portanto, Kd = 0,08 ou 8% ao ano.

Há diversas maneiras de se calcular o custo do capital próprio referente aos acionistas ordinários (Ks). Como o problema fornece preço atual da ação (P0), expectativa do valor do próximo dividendo (D1) e taxa de crescimento (g), o modelo a ser utilizado é o modelo de Gordon com crescimento, cuja fórmula é Ks = D1/P0 + g .

Portanto, Ks = 1,2/30 + 0,08 = 0,04 + 0,08 = 0,12 ou 12% ao ano.

Agora que temos o custo de cada componente, podemos calcular o CMPC, cuja fórmula para situações em que não há ações preferenciais é:


CMPC = Kd . Wd . (1 - IR) + Ks . Ws

Nessa fórmula Wd e Ws são os pesos de cada componente na estrutura de capital, 50% para cada um na presente situação. O termo (1 - IR) representa o benefício fiscal da dívida.

Portanto, CMPC = 0,08 x 0,5 x (1 - 0,4) + 0,12 x 0,5 = 0,084 ou 8,4% ao ano


c) Com a emissão de novo lote de ações o CMPC irá aumentar, porque há custos de emissão, que fazem com que parte do valor investido pelos novos acionistas não entre no caixa da empresa. Além disso, o mercado acionário tende a ver com desconfiança novas emissões, com isso a percepção do risco da empresa pode ser alterada e a exigência de rentabilidade aumentar.

Risco e Retorno ocultar

Problema retirado do livro "Administração Financeira: teoria e prática"
autores: Brigham e Ehrhardt
Editora Thomson, Tradução da 10ª edição norte-americana
pág 240 - problema 6-1

O retorno esperado de uma ação tem a seguinte distribuição:

Calcule o retorno esperado da ação, o desvio-padrão e o coeficiente de variação.

COMENTÁRIOS

O exercício deve ser tratado no contexto de um investidor que quer decidir se compra ou não a ação em questão. Para isso, faz um estudo em que projeta 5 cenários, de acordo com a demanda do mercado pelo produto da empresa emissora da ação.

Com os dados apresentados é possível calcular o retorno esperado, o desvio-padrão e o coeficiente de variação, que podem ser comparados aos de outras ações e às expectativas do investidor (suas exigências quanto ao risco e ao retorno).

Essa análise permite uma decisão fundamentada quanto à compra ou não da ação. O fato da decisão ser fundamentada na análise não elimina o risco, ou seja, a análise pode indicar que a compra da ação é uma boa alternativa e com o passar do tempo o investidor pode acumular perdas ou obter ganhos aquém do esperado. O risco de perda sempre existe.

RESOLUÇÃO

Os cálculos podem ser revistos no artigo que trata o tema de Risco e Retorno



Abaixo o cálculo do desvio-padrão (DP)



O coeficiente de variação é a razão entre desvio-padrão e retorno esperado:



baixe o arquivo excel com a resolução planilhada

Análise de investimento: payback, VPL e TIR ocultar

Problema adaptado de lista de exercícios

Considere os projetos X e Y e seus fluxos de caixa, conforme tabela abaixo. Ambos os projetos exigem um investimento inicial de $ 10.000.000,00. A taxa de atratividade (custo de oportunidade para projetos com mesmo nível de risco) dos projetos é 8% ao ano.



Pede-se:

a) Calcule o payback descontado, o VPL e a TIR de cada projeto;
b) Qual a decisão se forem projetos independentes?
c) Qual a decisão se forem projetos mutuamente excludentes?
d) Se a taxa de atratividade mudar para 20% ao ano, como ficam os cálculos e decisões acima?

COMENTÁRIOS

Veja que os projetos têm fluxos de caixa bem distintos. O projeto X tem um fluxo de caixa grande no ano 1 e fluxos de caixa menores nos anos seguintes. O projeto Y tem fluxos de caixa menores nos 3 primeiros anos e um fluxo de caixa grande no último ano.

Projetos como o X, cujos fluxos de caixa estão mais concentrados no início do projeto, são menos sensíveis à taxa de desconto. O aumento da taxa de desconto tem impacto maior no VPL de projetos como o Y, cujos fluxos de caixa não estão concentrados no início do projeto. Isso vem da lógica básica da matemática financeira: quanto mais distante no tempo um valor, maior o desconto que sofre ao ser trazido a valor presente.

Quanto à diferença entre projetos independentes e projetos mutuamente excludentes, no primeiro caso a escolha de um projeto não implica na exclusão dos demais, ou seja, mais de um projeto pode ser aceito, desde que sejam satisfatórios (VPL positivo e TIR acima da taxa de atratividade). No caso de projetos mutuamente excludentes, a escolha de um projeto implica na renúncia aos demais, portanto, nesse caso, o melhor deve ser escolhido (maior VPL e maior TIR).

RESOLUÇÃO

Para calcularmos o payback descontado, precisamos fazer uma tabela com os fluxos de caixa do projeto. Calculamos o valor presente de cada fluxo de caixa e então o acúmulo desses valores presentes. Quando o saldo acumulado se tornar positivo, o payback ocorre. Veja o artigo que trata de orçamento de capital no excel e o artigo com uma planilha de cálculo de payback para mais informações.

Veja as tabelas com os cálculos de payback descontado, VPL e TIR para os 2 projetos. Clique aqui para fazer o download do arquivo excel utilizado.







O Valor presente de cada fluxo de caixa é calculado usando a fórmula básica dos juros compostos, com PV em função de FV, como mostrado abaixo e exemplificado para o fluxo de caixa do ano 3 do projeto X. Esse cálculo pode ser feito na 12C ou no excel.




O saldo acumulado é a soma do saldo acumulado anterior com o valor presente do fluxo de caixa do ano correspondente. Por exemplo, o acumulado do ano 3 no projeto Y é $ - 2.268.709,04 porque o acumulado anterior é $ - 4.650.205,76 e o VP do fluxo de caixa do ano 3 é $ 2.381.496,72. A soma desses valores é o acumulado do ano 3.

O VPL é a soma da coluna com os valores presentes dos fluxos de caixa. Abaixo seguem os cálculos do VPL e da TIR para o projeto X.







Como era de se esperar, o payback do projeto X é mais rápido, visto que tem um fluxo de caixa grande logo no ano 1. Aqui ocorre algo interessante: A TIR do projeto X é maior, mas o VPL é menor. A TIR nos diz que o projeto X é melhor, mas o VPL nos diz que o projeto Y é melhor. Quando há esse conflito, prevalece o VPL.

Se os projetos forem independentes, ambos são aceitáveis, pois apresentam VPL positivo e TIR acima da taxa de atratividade. Se os projetos forem mutuamente excludentes, o projeto Y deve ser aceito, rejeitando-se X, pois apresenta maior VPL.


Vejamos como fica o problema se a taxa de atratividade for 20% ao ano. Seguem abaixo as tabelas com os fluxos de caixa e as medidas calculadas.







Com uma taxa de desconto maior, os valores presentes dos fluxos de caixa ficam menores, o que faz com que o payback ocorra mais tarde e o VPL diminua. A TIR não é afetada pela taxa de desconto, pois é a taxa inerente ao fluxo de caixa.

Embora o aumento na taxa de desconto afete os dois projetos, o VPL do projeto Y é mais sensível à taxa que o projeto X. A redução no VPL de Y provocada pelo aumento da taxa foi proporcionalmente maior que a redução no VPL de X. Tanto é que a 8% o projeto Y tem maior VPL, enquanto a 20% o projeto X tem VPL maior.

Se os projetos forem independentes ambos devem ser aceitos, pois têm VPL positivo e TIR maior que a taxa de atratividade. Mas há uma ressalva quanto ao projeto Y: a 20%, o VPL, embora positivo, é pequeno (menos que 2% do valor investido) e a TIR é ligeiramente superior à taxa de atratividade. A aceitação deste projeto é questionável. Se os projetos forem mutuamente excludentes, a decisão é simples: o projeto X é melhor.

Este exercício ilustra a importância da taxa de desconto na avaliação de projetos, e como variações em seu valor podem afetar as medidas quantitativamente, e as decisões, qualitativamente.

Estatística: Distribuição binomial ocultar

Exercícios retirados do livro "Estatística aplicada à Administração e Economia"
autores: Sweeney, Williams e Anderson
Cengage Learning, Tradução da 6ª edição norte-americana
pág 227 - exercícios 36 e 37

De acordo com um estudo conduzido pela TD Ameritrade, um de cada quatro investidores tem fundos negociados na Bolsa de Valores em seu portfólio (USA Today, 11 de janeiro de 2007). Considere uma amostra de 20 investidores.

a) Calcule a probabilidade de que exatamente 4 investidores tenham fundos negociados na Bolsa de Valores em seus portfólios;

b) Calcule a probabilidade de que pelo menos 2 dos investidores tenham fundos negociados na Bolsa de Valores em seus portfólios;

c) Se descobrisse que exatamente 12 dos investidores têm fundos negociados na Bolsa de Valores em seus portfólios, você duvidaria da exatidão dos resultados desse estudo?

d) Calcule o número esperado de investidores que têm fundos negociados na Bolsa de Valores em seus portfólios.

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COMENTÁRIOS

Quando temos esse tipo de problema, em que há vários elementos e a variável em estudo pode assumir 2 valores (sim/não, defeituoso/não-defeituoso, sucesso/fracasso, homem/mulher), a distribuição binomial pode ser adequada.

Algumas condições são exigidas para aplicabilidade da binomial: váriável com 2 resultados (já citada); a probabilidade de cada resultado é constante; a amostra, ou os ensaios, é/são independente(s).

O objetivo básico ao usarmos a distribuição binomial é calcular a probabilidade de que, se repetirmos um experimento n vezes (ou tomarmos uma amostra com n elementos), tenhamos x resultados. Por exemplo, se retirarmos uma amostra de 20 produtos saídos de uma linha de produção, qual a probabilidade de que 5 sejam defeituosos? Se em uma maternidade nascerem 50 crianças em um mês, qual a probabilidade de que pelo menos 20 sejam meninos?

A informação chave para esses cálculos é a probabilidade de cada resultado isolado. No caso da linha de produção, essa informação (probabilidade de um produto sair da linha de produção com defeito) pode vir de estimativas feitas sobre amostragens anteriores. No caso da maternidade essa informação (probabilidade de uma criança ser do sexo masculino) pode vir de censos, de amostragens anteriores na própria maternidade ou em um conjunto de maternidades. Em princípio não nos preocupamos com a obtenção dessa informação (isso é outro problema, envolve intervalos de confiança e testes de hipótese), ela é dada.

A fórmula para cálculo da probabilidade numa distribuição binomial é:

RESOLUÇÃO

a) Há 2 resultados possíveis: ou o investidor tem fundos em seu portfólio ou não tem (podemos resumir em sim/não). Pede-se a probabilidade de que 4 investidores tenham fundos em seu portfólio, então x = 4. Como a amostra é de 20 investidores, n = 20. O p é dado, pois o enunciado afirma que 1 em 4 investidores tem esse fundo no portfólio, então p = 1/4 = 25%.


b) Aqui pede-se a probabilidade de que pelo menos dois investidores tenham fundos em seu portfólio, portanto vale X = 2, X = 3, X = 4... até X = 20. Olhando assim temos que calcular 19 probabilidades como no item a) acima. Isso é muito trabalhoso, há um jeito mais fácil e inteligente.

A probabilidade total do espaço amostral (probabilidade de todos os resultados possíveis) é sempre 1 (há 100% de chance que algum resultado ocorrerá, obviamente). O problema descarta os valores x = 0 e x = 1, já que está interessado em pelo menos 2 investidores com fundos. Se calcularmos essas 2 probabilidades P(X = 0) e P(X = 1), podemos obter nossa probabilidade de interesse fazendo 1 - P(X = 0) - P(X = 1).


c) Vamos calcular P(x = 12) c

Como a probabilidade de que 12 investidores tenham fundos em uma amostrad e 20 é bem pequena (0,08%), esse resultado levanta dúvidas quanto à probabilidade geral (p = 25%) ou quanto à amostragem, talvez não tenha sido uma amostragem aleatória, mas tendenciosa.


O valor esperado E(X) de uma variável aleatória regida pela distribuição binomial é E(X) = n.p, portanto E(X) = 20 . 0,25 = 5. Portanto, em um grupo de 20 investidores, o valor esperado para a quantidade de investidores com fundos em seu portfólio é 5.


Vinte e três por cento dos automóveis não têm cobertura de seguros (CNN, 23 de fevereiro de 2006). Em um determinado fim de semana, 35 automóveis são envolvidos em acidentes de tráfego.

a) Qual é o número esperado desses automóveis que não estão cobertos por seguro?

b) Calcule a variância e o desvio-padrão do número de automóveis sem cobertura de seguro.

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As fórmulas para cálculo do valor esperado, variância e desvio-padrão são:

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